Question

4．已知二項式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的各項系數(shù)的絕對值之和為128．
（Ⅰ）求展開式中系數(shù)最大的項；
（Ⅱ）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析 （1）二項式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的各項系數(shù)的絕對值之和為128，即為各項二項式系數(shù)之和為128，即2ⁿ=128，解得即可，當r=4時，展開式中系數(shù)最大
（2）考慮通項公式中，x的指數(shù)為3的倍數(shù)的情況，即可得到個數(shù)

解答 解：（1）二項式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的各項系數(shù)的絕對值之和為128，
即為各項二項式系數(shù)之和為128，即2ⁿ=128得n=7，
則二項式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）⁷展開式的通項為（-1）^rC₇^r${x}^{\frac{7-4r}{3}}$，
∵C₇³=C₇⁴=35，
∴當r=4時，展開式中系數(shù)最大，
∴展開式中系數(shù)最大的項為35x^-3，
（2）當$\frac{7-4r}{3}$為整數(shù)時，即r=7，4，1
∴展開式中所有的有理項（-1）⁷C₇⁷x^-7=-x^-7，或35x^-3，-7x

點評 本題考查二項式定理及運用，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)和二項式展開式的通項公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．