Question

2．已知函數f（x）的定義域為（-2，2），函數g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．
（1）求函數g（x）的定義域；
（2）若f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的定義域為R，求m的取值范圍
（3）若f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的值域為R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數g（x）的定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x-1＜2}\\{-2＜3-2x＜2}\end{array}\right.$，由此能求出函數g（x）的定義域．
（2）由已知得x²+mx+3＞0的解集為R，由此能求出m的取值范圍．
（3）由已知得t=x²+mx+3能取遍一切正數，由此能求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）的定義域為（-2，2），
函數g（x）=f（x-1）+f（3-2x），
∴函數g（x）的定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x-1＜2}\\{-2＜3-2x＜2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$，
∴函數g（x）的定義域為（$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$）．
（2）∵f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的定義域為R，
∴x²+mx+3＞0的解集為R，
∴△=m²-12＜0，解得-2$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$．
∴m的取值范圍是（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
（3）∵f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的值域為R，
∴t=x²+mx+3能取遍一切正數，
∴△=m²-12≥0，
解得m$≤-2\sqrt{3}$，或m$≥2\sqrt{3}$．
∴m的取值范圍是（-$∞，-2\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題考查函數的定義域的求法，考查實數取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數函數性質的合理運用．