Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）證明：不等式在恒成立.

附：.

Answer 1

【答案】（1）有兩個(gè)極值點(diǎn)（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，以及，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值點(diǎn)情況；

（2）分，，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理以及放縮思想得證．

解：（1）由，求導(dǎo)數(shù)，設(shè)

①在時(shí)，則

，知在遞減，

存在使得

在時(shí)，，在時(shí)，

為的極大值點(diǎn).

②在時(shí)，有

在上恒成立，在上遞減

此時(shí)無(wú)極值.

③在時(shí)，

，在上恒成立.

在上遞增，

因此存在唯一，使得

在時(shí)，，在時(shí)，

為極小值點(diǎn).

綜合討論在有兩個(gè)極值點(diǎn).

（2）令，則

①若時(shí)，，而

所以，在遞減，

所以

②若，，，

當(dāng)時(shí)，，則在遞增，

所以存在唯一使得，

當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，

故

下面證明：在上恒成立

記，

則，所以在遞增，

于是，

從而可知，

綜合①②可知在上恒成立.