Question

13．我們把由半橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（x≥0）與半橢圓$\frac{{y}^{2}}{^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}=1$（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，點(diǎn)F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A₁，A₂和B₁，B₂分別是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)．
（1）若△F₀F₁F₂是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）當(dāng)|A₁A₂|＞|B₁B₂|時(shí)，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形F₀F₁F₂是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，得出a，b，c的關(guān)系，求出a，b，c的值，進(jìn)而得出“果圓”的方程；
（2）由|A₁A₂|＞|B₁B₂|可得a，b，c的不等關(guān)系式，把c用a，b代替，得到含有a，b的不等式，求解不等式得答案．

解答 解：（1）由題意可得，F(xiàn)₀（c，0），F(xiàn)₁（0，-$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$），
則|F₀F₁|=$\sqrt{（^{2}-{c}^{2}）+{c}^{2}}$=b=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴${c}^{2}=\frac{3}{4}$，${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$，
故所求“果圓”方程為$\frac{4}{7}{x}^{2}+{y}^{2}=1$（x≥0）和${y}^{2}+\frac{4}{3}{x}^{2}=1$（x≤0）；
（2）由|A₁A₂|＞|B₁B₂|，得a+c＞2b，c＞2b-a，即$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$＞2b-a．
兩邊平方得a²-b²＞（2b-a）²，
則$\frac{a}＜\frac{4}{5}$，又b＞c，
∴b²＞c²，即b²＞a²-b²，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}＞\frac{1}{2}$，即$\frac{a}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故$\frac{a}$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{4}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．