Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-3x（x≥0）}\\{ln（1-x）（x＜0）}\end{array}\right.$，若|f（x）+4|≥a（x-1），則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，3]
• B． [0，6]
• C． [0，5]
• D． [0，12]

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=|f（x）+4|，作出函數(shù)g（x）和y=a（x-1）的圖象，根據(jù)不等式恒成立，討論a的取值范圍建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=|f（x）+4|，
則當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=|-x²-3x+4|=|x²+3x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-3x+4，}&{0≤x≤1}\\{{x}^{2}+3x-4，}&{x＞1}\end{array}\right.$．
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=|f（x）+4|=|4+ln（1-x）|=4+ln（1-x），此時(shí)函數(shù)g（x）為減函數(shù)，且g（x）＞4，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖，
設(shè)y=a（x-1），
若a=0，則|f（x）+4|≥a（x-1），恒成立，
若a＜0，|f（x）+4|≥a（x-1）不恒成立，不滿(mǎn)足條件．
若a＞0時(shí)，要使|f（x）+4|≥a（x-1），恒成立，
則只需要到x＞1時(shí)，y=x²+3x-4與y=a（x-1）相切即可，
由x²+3x-4=a（x-1），即x²+（3-a）x+a-4=0，
則判別式△=（3-a）²-4（a-4）=a²-10a+25=（a-5）²=0，
則a=5，
綜上0≤a≤5，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．