Question

13．如圖，橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為32$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）已知N（1，0），若過點N的直線交橢圓M于E，F(xiàn)兩點，且-$\frac{27}{2}$≤$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$≤-12，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以得到關于a，b的方程組：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{4ab=32\sqrt{3}}\end{array}\right.$，這樣可解出a，b，從而得出橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）可設直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立橢圓的方程并消去y可得到（3+4k²）x²-8k²x+4k²-48=0，可設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理便可得到${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，這樣便可求出$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}=\frac{-45（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，從而可建立關于k的不等式，解不等式便可得出直線斜率的取值范圍．

解答 解：（1）$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$①；
矩形ABCD面積為$32\sqrt{3}$，即$2a•2b=32\sqrt{3}$②；
由①②解得：a²=16，b²=12；
∴橢圓M的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）設直線的方程為：y=k（x-1）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-48=0；
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則：
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$；
又$\overrightarrow{NE}=（{x}_{1}-1，{y}_{1}），\overrightarrow{NF}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$；
∴$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}=（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）+{y}_{1}{y}_{2}$=（x₁-1）（x₂-1）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=$\frac{-45（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$；
∴$-\frac{27}{2}≤\frac{-45（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}≤-12$；
解之得：$\frac{1}{2}≤{k}^{2}≤3$；
∴直線的斜率的取值范圍為$[-\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{3}]$．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的離心率，直線的點斜式方程，以及韋達定理，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，數(shù)量積的坐標運算，一元二次不等式的解法．