Question

4．如圖，已知四棱錐S-ABCD，底面ABCD為菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F(xiàn)分別是SC，BC的中點．
（Ⅰ）證明：SD⊥AF；
（Ⅱ）若AB=2，SA=4，求二面角F-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AF⊥BC．SA⊥AF．推出AF⊥平面PAD．然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AF⊥SD．
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面AEF的一法向量，平面AEC的一法向量，通過斜率的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可．

解答 （Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為F為BC的中點，所以AF⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．…（2分）
因為SA⊥平面ACDB，AE?平面ABCD，所以SA⊥AF．
而SA?平面SAD，AD?平面SAD且SA∩AD=A，
所以AF⊥平面PAD．又SD?平面SAD，…（5分）
所以AF⊥SD．            …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AF，AD，AS兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為SC，BC的中點，所以$A（0，0，0），B（\sqrt{3}，-1，0），C（\sqrt{3}，1，0），D（0，2，0）$，$S（0，0，4），E（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，2}），F(xiàn)（\sqrt{3}，0，0）$，
所以$\overrightarrow{AE}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，2}），\overrightarrow{AF}=（\sqrt{3}，0，0）$．
設(shè)平面AEF的一法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$因此$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{1}{2}{y}_{1}+2{z}_{1}=0\\ \sqrt{3}{x}_{1}=0\end{array}\right.$
取Z₁=-1，則$\overrightarrow{m}=（0，4，-1）$，…（9分）
因為BD⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，
所以BD⊥平面AEC，
故$\overrightarrow{BD}$為平面AEC的一法向量，且$\overrightarrow{BD}=（-\sqrt{3}，3，0）$，…（10分）
所以$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BD}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{BD}|}=\frac{4×3}{\sqrt{17}×\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{51}}{17}$，…（11分）
由于二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{51}}}{17}$．…（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．