Question

19．已知函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（2）運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；
（3）運用f（x）為R上的奇函數(shù)和增函數(shù)，可得k•3^x＜9^x-3^x+2，即有k＜3^x-1+2•3^-x的最小值，運用基本不等式即可得到所求的最小值，進而得到k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由：函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$，
可得$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x＞0，當(dāng)x≥0時，顯然成立；
當(dāng)x＜0時，$\sqrt{{x}^{2}+2}$＞-x，平方可得x²+2＞x²恒成立．
則f（x）的定義域為R，
由f（-x）+f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$-x）-lg$\sqrt{2}$+lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$
=lg（x²+2-x²）-lg2=lg2-lg2=0，
即有f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）在R上為增函數(shù)．
證明：設(shè)m＜n，即有f（m）-f（n）=lg（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-lg$\sqrt{2}$-lg（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$）+lg$\sqrt{2}$
=lg（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-lg（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$），
由（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$）=（m-n）+$\frac{2+{m}^{2}-2-{n}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}+\sqrt{2+{n}^{2}}}$
=（m-n）（$\frac{（m+\sqrt{2+{m}^{2}}）+（n+\sqrt{2+{n}^{2}}）}{\sqrt{2+{m}^{2}}+\sqrt{2+{n}^{2}}}$＜0，
即m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$＜n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$，
可得lg（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-lg（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$）＜0，
即為f（m）＜f（n），則f（x）在R上遞增；
（3）f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，
即為f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
由f（x）在R上遞增，可得k•3^x＜9^x-3^x+2，
即有k＜3^x-1+2•3^-x的最小值，
由3^x+2•3^-x-1≥2$\sqrt{{3}^{x}•2•{3}^{-x}}$-1=2$\sqrt{2}$-1．
當(dāng)且僅當(dāng)3^x=2•3^-x，即x=log₃$\sqrt{2}$時，取得最小值．
則k＜2$\sqrt{2}$-1．
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．