Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2

n•(an+2)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列{a_n}的公差，由已知條件列式求出公差，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

2

n•(an+2)

，整理后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列，得
（2+2d）²-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，
當(dāng)d=-1時(shí)，a₃=0，與a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列矛盾，舍去．
∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n；
（Ⅱ）由a_n=2n，得
b_n=

2

n•(an+2)

=

2

n(2n+2)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，是中檔題．