已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列、
滿足
.
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列(各項都相等的數(shù)列),且
時,求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)、
都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列
有無窮多個,而數(shù)列
惟一確定;
(Ⅲ)設(shè),
,求證:
.
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)由是常數(shù)列,得
,進(jìn)而探求數(shù)列項間的關(guān)系;(Ⅱ)將等差數(shù)列
、
的通項公式代入
,根據(jù)等式恒成立,求首項和公差;(Ⅲ)利用題中所給關(guān)系式對
進(jìn)行適當(dāng)放縮,求出上界和下界.
試題解析:
(Ⅰ)因為數(shù)列是常數(shù)列,且
,所以
①,因此
②,①-②得,
,這說明數(shù)列
的序號為奇數(shù)的項及序號為偶數(shù)的項均按原順序組成公差為2的等差數(shù)列,又
,
,所以
,因此
,
,即
.
(Ⅱ)設(shè)、
都是公差分別為
,將其通項公式代入
得
,因為它是恒等式,所以
,解得
,因此
.
由于可以取無窮多非零的實數(shù),故數(shù)列
有無窮多個,而數(shù)列
惟一確定;
(Ⅲ)因為,且
,所以
,即
,所以
,得
,因此
.
又由得,
,而
,所以
,因此
,所以
,所以
.
考點:等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為等差數(shù)列,且
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及其前
項和
;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足
求數(shù)列
的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項
,公差
.且
分別是等比數(shù)列
的
.
(Ⅰ)求數(shù)列與
的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)
均有
…
成立,求
…
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)證明:對一切正整數(shù)n,有+
+…+
<
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知正項數(shù)列的首項
,前
項和
滿足
.
(Ⅰ)求證:為等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前
項和為
,若對任意的
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項
,公差
.且
分別是等比數(shù)列
的
.
(Ⅰ)求數(shù)列與
的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)
均有
成立,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足
(
為常數(shù)),
成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求p的值及數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列:
(1)觀察規(guī)律,寫出數(shù)列的通項公式,它是個什么數(shù)列?
(2)若,設(shè)
,求
。
(3)設(shè),
為數(shù)列
的前
項和,求
。
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