Question

“漸升數(shù)”是指除最高位數(shù)字外，其余每一個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如13456和35678都是五位的“漸升數(shù)”）．
（Ⅰ）共有

 

個(gè)五位“漸升數(shù)”（用數(shù)字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“漸升數(shù)”按照從小到大的順序排列，則第110個(gè)五位“漸升數(shù)”是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專(zhuān)題：排列組合

分析：（Ⅰ）分析可得“漸升數(shù)”中不能有0，則可以在其他9個(gè)數(shù)字中任取5個(gè)，按從小到大的順序排成一列，即可以組成一個(gè)“漸升數(shù)”，即每種取法對(duì)應(yīng)一個(gè)“漸升數(shù)”，由組合數(shù)公式計(jì)算C₉⁵即可得答案，
（Ⅱ），先計(jì)算1和2，3在首位的“漸升數(shù)”的個(gè)數(shù)，可得第100個(gè)“漸升數(shù)”的首位是3，進(jìn)而計(jì)算3在首位，第二位是4，第三位是5的“漸升數(shù)”的個(gè)數(shù)，即可分析可得第1111個(gè)“漸升數(shù)”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“漸升數(shù)”中最大的一個(gè)，即34589，繼而求出第110個(gè)

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，“漸升數(shù)”中不能有0，
則在其他9個(gè)數(shù)字中任取5個(gè)，每種取法對(duì)應(yīng)一個(gè)“漸升數(shù)”，
則共有“漸升數(shù)”C₉⁵=126個(gè)，
（Ⅱ）對(duì)于這些“漸升數(shù)”，1在首位的有C₈⁴=70個(gè)，2在首位的有C₇⁴=35個(gè)，3在首位的有C₆⁴=15個(gè)，
對(duì)于3在首位的“漸升數(shù)”中，第二位是4的有C₅³=10個(gè)，第三位是5的有C₄²=6，
∵70+35+10+6=111，
所以則第111個(gè)“漸升數(shù)”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“漸升數(shù)”中最大的一個(gè)，即34589
則第110個(gè)“漸升數(shù)”即34579；
故答案為126，34579；

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解“漸升數(shù)”的含義，其次要注意0不能在首位，即“漸升數(shù)”中不能有0．