Question

若a=2

2

cos50°（

3

-tan190°）sin（-

21π

4

），則f（x）=log_a

x

4

log_a

x

2

（

1

4

≤x≤4）的值域為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：先利用三角恒等變換將a的值求出來，然后再利用換元法將所求的函數(shù)化成二次函數(shù)求其值域．

解答： 解：因為2

2

cos50°（

3

-tan190°）
=2

2

cos50°(

3

-tan10°)
=2

2

cos50°(

3 cos10°-sin10°

cos10°

)
=2

2

sin40°

2sin50°

sin80°

=

2 2 ×2sin40°cos40°

sin80°

=

2 2 sin80°

sin80°

=2

2

．
所以a=2

2

sin(-

21π

4

)=2

2

sin(-6π+

3π

4

)
=2

2

sin(

3π

4

)=2

2

×

2

2

=2．
所以f（x）=（log_ax-log_a4）（log_ax-log_a2）
=(log2x)2-3log2x+2．
令t=log₂x∈[-2，2]．
則原函數(shù)化為y=t2-3t+2=(t-

3

2

)2-

1

4

．
該函數(shù)在[-2，

3

2

]上遞減，在（

3

2

，2]上遞增．
且t=-2時，y=12；t=2時，y=0；t=

3

2

時，y=-

1

4

．
故原函數(shù)的值域為[-

1

4

，12]．
故答案為[-

1

4

，12]．

點(diǎn)評：本題考查了三角恒等變換的化簡求值問題以及二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題．注意換元法在本題中的應(yīng)用．