已知函數(shù)f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a.其中a∈R且a≠0.
(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的一個公共點恰好在x軸上,求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點A、B,O為坐標(biāo)原點,試問:△OAB的面積S有沒有最值?如果有,求出最值及所對應(yīng)的a的值;如果沒有,請說明理由.
分析:(1)設(shè)函數(shù)g(x)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為(a,0),而點(a,0)也在函數(shù)f(x)的圖象上,代入函數(shù)f(x)的解析式建立等式,解之即可求出a的值;
(2)依題意,f(x)=g(x),函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點A、B,則△>0,求出a的范圍,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求出AB以及點O到直線g(x)=x-a的距離,從而求出三角形的面積關(guān)于a的函數(shù),根據(jù)a的范圍求出面積的最值.
解答:解:(1)設(shè)函數(shù)g(x)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為(a,0),
又∵點(a,0)也在函數(shù)f(x)的圖象上,∴a3+a2=0.
而a≠0,∴a=-1.
(2)依題意,f(x)=g(x),即ax2+ax=x-a,
整理,得  ax2+(a-1)x+a=0,①
∵a≠0,函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點A、B,
∴△>0,即△=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1=(3a-1)(-a-1)>0.
∴-1<a<
1
3
且a≠0.…(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2,由①得,x1•x2=1>0,x1+x2=-
a-1
a

設(shè)點O到直線g(x)=x-a的距離為d,
d=
|-a|
2
,|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
1+k2
|x1-x2|

∴S△OAB=
1
2
1+k2
|x1-x2|
|-a|
2

=
1
2
-3a2-2a+1
=
1
2
-3(a+
1
3
)
2
+
4
3

∵-1<a<
1
3
且a≠0,∴當(dāng)a=-
1
3
時,S△OAB有最大值
3
3
,S△OAB無最小值.
點評:本題主要考查了三角形面積的度量,以及利用二次函數(shù)研究函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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