Question

15．在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC內(nèi)一點，則M到三個側(cè)面的距離的平方和的最小值是$\frac{144}{41}$．

Answer 1

分析 以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出M到三棱錐三個側(cè)面的距離的平方和的最小值．

解答 解：以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），
∴平面ABC為：$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{4}z$=1，
∴1=（$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{4}z$）²≤[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{4}$）²]（x²+y²+z²），
解得x²+y²+z²≥$\frac{144}{41}$．
又M是底面ABC內(nèi)一點，
∴M到三棱錐三個側(cè)面的距離的平方和的最小值是$\frac{144}{41}$．
故答案為：$\frac{144}{41}$．

點評 本題考查點到三棱錐三個側(cè)面的距離的平方和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．