Question

13．學(xué)校從參加高三年級期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），得到如下數(shù)學(xué)成績的頻率分布表：

分組	頻數(shù)	頻率
[40，50）	2
[50，60）	3
[60，70）		0.28
[70，80）	15
[80，90）	12
[90，100]	4

（Ⅰ）請?jiān)诖痤}卡上完成頻率分布表和作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用樣本估計(jì)總體，若高三年級共有2000人，估計(jì)成績不及格（60分以下）的人數(shù)；
（Ⅲ）為了幫助成績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績，現(xiàn)從成績[90，100]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同幫助成績在[40，50）中的某一位同學(xué)，即成立幫扶學(xué)習(xí)小組，樣本中已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績?yōu)?5分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意能作出頻率分布表，由頻率分布表能作出頻率分布直方圖．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得60分以下的頻率，由此能估計(jì)成績不及格（60分以下）的人數(shù)．
（Ⅲ）成績[90，100]的學(xué)生有4人，成績在[40，50）的學(xué)生有2人，從成績[90，100]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同幫助成績在[40，50）中的某一位同學(xué)，即成立幫扶學(xué)習(xí)小組，
基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}•{C}_{2}^{1}=12$，樣本中已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績?yōu)?5分，甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{3}^{1}$=3，由此能求出甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率．

解答 解：（Ⅰ）由題意頻率分布表為：

分組	頻數(shù)	頻率
[40，50）	2	0.04
[50，60）	3	0.06
[60，70）	14	0.28
[70，80）	15	0.30
[80，90）	12	0.24
[90，100]	4	0.08

由頻率分布表作出頻率分布直方圖如下：

（Ⅱ）由頻率分布直方圖得60分以下的頻率為：（0.004+0.006）×10=0.1，
用樣本估計(jì)總體，高三年級共有2000人，
估計(jì)成績不及格（60分以下）的人數(shù)為：2000×0.1=200人．
（Ⅲ）成績[90，100]的學(xué)生有0.08×50=4人，成績在[40，50）的學(xué)生有0.04×50=2人，
從成績[90，100]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同幫助成績在[40，50）中的某一位同學(xué)，即成立幫扶學(xué)習(xí)小組，
基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}•{C}_{2}^{1}=12$，
樣本中已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績?yōu)?5分，
甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{3}^{1}$=3，
∴甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．