Question

如圖，已知△ABC的外角∠EAC的平分線與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，以CD為直徑的圓分別交BC，CA于點(diǎn)P、Q，求證：線段PQ平分△ABC的周長．

Answer 1

分析：如圖，連接DB，DP，DQ，PQ．利用四邊形外接圓的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=∠DCB，故△DBC為等腰三角形．于是DP⊥BC，則CP=

1

2

BC．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，及BD=CD，可得AC-AB=

BC•AD

BD

=

2BP•AD

BD

，又DQ⊥AC，可得△ADQ∽△BDP，可得

AQ

BP

=

AD

BD

，即AQ=

BP•AD

BD

．故AC-AB=2AQ，即AQ=

AC-AB

2

．可得CQ+CP=（AC-AQ）+

1

2

BC，把AQ代入即可．

解答：證：如圖，連接DB，DP，DQ，PQ．
∵∠ABD=∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；
又∠DAC=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB，故△DBC為等腰三角形．
∵DP⊥BC，則CP=

1

2

BC．
在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，
∵BD=CD，∴AC-AB=

BC•AD

BD

=

2BP•AD

BD

，
又DQ⊥AC，∴△ADQ∽△BDP，
∴

AQ

BP

=

AD

BD

，即AQ=

BP•AD

BD

．
故AC-AB=2AQ，即AQ=

AC-AB

2

．
∴CQ+CP=（AC-AQ）+

1

2

BC=(AC-

AC-AB

2

)+

1

2

BC=

1

2

（AB+BC+CA）．

點(diǎn)評：本題考查了四邊形外接圓的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、托勒密定理、相似三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．