精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC的外角∠EAC的平分線與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，以CD為直徑的圓分別交BC，CA于點(diǎn)P、Q，求證：線段PQ平分△ABC的周長(zhǎng)．
分析：如圖，連接DB，DP，DQ，PQ．利用四邊形外接圓的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=∠DCB，故△DBC為等腰三角形．于是DP⊥BC，則CP=
1
2
BC．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，及BD=CD，可得AC-AB=
BC•AD
BD
=
2BP•AD
BD
，又DQ⊥AC，可得△ADQ∽△BDP，可得
AQ
BP
=
AD
BD
，即AQ=
BP•AD
BD
．故AC-AB=2AQ，即AQ=
AC-AB
2
．可得CQ+CP=（AC-AQ）+
1
2
BC，把AQ代入即可．
解答：證：如圖，連接DB，DP，DQ，PQ．精英家教網(wǎng)
∵∠ABD=∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；
又∠DAC=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB，故△DBC為等腰三角形．
∵DP⊥BC，則CP=
1
2
BC．
在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，
∵BD=CD，∴AC-AB=
BC•AD
BD
=
2BP•AD
BD
，
又DQ⊥AC，∴△ADQ∽△BDP，
∴
AQ
BP
=
AD
BD
，即AQ=
BP•AD
BD
．
故AC-AB=2AQ，即AQ=
AC-AB
2
．
∴CQ+CP=（AC-AQ）+
1
2
BC=(AC-
AC-AB
2
)+
1
2
BC=
1
2
（AB+BC+CA）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形外接圓的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、托勒密定理、相似三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE與CD交于P．設(shè)存在λ和μ使
AP
=λ
AE
，
PD
=μ
CD
，
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）求λ及μ；
（2）用
a
，
b
表示
BP
；
（3）求△PAC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)為A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），求：
（Ⅰ）AB邊所在直線的方程；
（Ⅱ）AB邊上的高線CH所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高二上學(xué)期第一次段考理科數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

如圖，已知△ABC的平面直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則原△ABC的面積為__________.

 

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