Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，它的一個焦點(diǎn)到短軸頂點(diǎn)的距離為2，動直線l：y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、OB的斜率都存在，且 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：2m2=4k2+3；
（3）求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得： ，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．

∴橢圓E的方程為 =1

（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△＞0，∴x1+x2= ，x1x2= ，

∵ ．

∴ =﹣ ，即3x1x2+4y1y2=0，

∴3x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，

化為：（3+4k2）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0，

∴（3+4k2） +4km +4m2=0，

化為：2m2=4k2+3

（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，

化為：4k2+3＞m2，∴4k2+3 ，∴k∈R．

|AB|=

=

=

= = ∈ ．

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，|AB|的最大值2

【解析】（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)解題；（2）本小題主要應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系來化簡計(jì)算過程；（3）先根據(jù)（2）判斷點(diǎn)A，點(diǎn)B的存在性，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式線段AB長的表達(dá)式，最后求得線段AB的最大值.