Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=λa_n-

n

λ+1

，（λ≠±1，n∈N^*）．
（Ⅰ）如果λ=0，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果λ=2，求證：數(shù)列{an+

1

3

}為等比數(shù)列，并求S_n；
（Ⅲ）如果數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）如果λ=0，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果λ=2，根據(jù)等比數(shù)列的定義利用構(gòu)造法即可證明數(shù)列{an+

1

3

}為等比數(shù)列，并求S_n；
（Ⅲ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）λ=0時，S_n=-n，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=-1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-1，
所以a_n=-1． …（3分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)λ=2時，S_n=2a_n-

n

3

，
S_n+1=2a_n+1-

n+1

3

，
相減得a_n+1=2a_n+

1

3

．
所以a_n+1+

1

3

=2（a_n+

1

3

）．
又因為a₁=

1

3

，a₁+

1

3

=

2

3

，
所以數(shù)列{an+

1

3

}為等比數(shù)列，
所以a_n+

1

3

=

2n

3

，S_n=2a_n-

n

3

=

2n+1

3

-

n+2

3

． …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，顯然λ≠0
當(dāng)n=1時，則S₁=λa₁-

1

λ+1

，得a₁=

1

λ2-1

．
當(dāng)n≥2時，S_n=λa_n-

n

λ+1

，
S_n-1=λa_n-1-

n-1

λ+1

，
相減得a_n=

λ

λ-1

a_n-1+

1

λ2-1

，
即a_n+

1

λ+1

=

λ

λ-1

（a_n-1+

1

λ+1

）．
因為λ≠±1，所以a₁+

1

λ+1

=

λ

λ2-1

≠0．
所以{a_n+

1

λ+1

}為等比數(shù)列．
所以a_n=

λ

λ2-1

（

λ

λ-1

）^n-1-

1

λ+1

=

1

λ+1

（

λ

λ-1

）ⁿ-

1

λ+1

．
因為數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
所以

1 λ+1 ＞0 λ λ-1 ＞1

或 

1 λ+1 ＜0 0＜ λ λ-1 ＜1

，
所以λ的取值范圍是λ＞1或λ＜-1． …（13分）

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式和前n項和的求解，考查學(xué)生的推理和運算能力，綜合性較強(qiáng)，運算量較大．