【題目】一種計(jì)算裝置,有一數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B,按照某種運(yùn)算程序:①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí),從B口得到 ,記為 ;②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n(n≥2)時(shí),在B口得到的結(jié)果f(n)是前一個(gè)結(jié)果f(n﹣1)的 倍. (Ⅰ)當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2,3,4時(shí),從B口分別得到什么數(shù)?
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)試猜想f(n)的關(guān)系式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得f(n)= f(n﹣1),(n≥2,n∈N*) 當(dāng)n=2時(shí), ,
同理可得
(Ⅱ)猜想
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)成立
② 當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),由上面的計(jì)算結(jié)果知(*)成立
②假設(shè)n=k(k≥4,k∈N*)時(shí),(*)成立,即 ,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
即 ∴當(dāng)n=k+1時(shí),(*)也成立
綜合①②所述,對(duì)n∈N* , 成立
【解析】(Ⅰ)由f(n)= f(n﹣1),(n≥2,n∈N*), 可求得f(2),f(3),f(4)的值,(Ⅱ)從而可猜想f(n)關(guān)系式.按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟:先證明n=1時(shí)命題成立,再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,去證明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立,從而得出命題對(duì)任意的n≥2恒成立.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如表的列聯(lián)表.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 100 |
已知在全部100人中抽到隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為
(1)請(qǐng)完成如表的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),有多大的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系“?
(3)按分層抽樣的方法,從優(yōu)秀學(xué)生中抽出6名學(xué)生組成一個(gè)樣本,再?gòu)臉颖局谐槌?名學(xué)生,記甲班被抽到的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式和數(shù)據(jù):K2= ,其中n=a+b+c+d
下面的臨界值表供參考:
p(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=x2+bx+c(b,c∈R,b<0).
(1)若f(x)的定義域?yàn)閇0,1]時(shí),值域也是[0,1],求b,c的值;
(2)若b=﹣2時(shí),若函數(shù)g(x)= 對(duì)任意x∈[3,5],g(x)>c恒成立,試求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)若函數(shù)在時(shí)有極值,求的解析式;
(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)蓬勃發(fā)展的新機(jī)遇相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)愛(ài),商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表如下表:
對(duì)服務(wù)好評(píng) | 對(duì)服務(wù)不滿意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品好評(píng) | |||
對(duì)商品不滿意 | |||
合計(jì) |
(1)是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)?
(2)若將頻率視為概率,某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的次購(gòu)物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
(,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等比數(shù)列{}中,,公比,且, 與的等比中項(xiàng)為2.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,求:數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的日銷(xiāo)售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
若以上表中頻率作為概率,且每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立.
(1)求5天中該種商品恰好有兩天的日銷(xiāo)售量為1.5噸的概率;
(2)已知每噸該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2千元, 表示該種商品某兩天銷(xiāo)售利潤(rùn)的和(單位:千元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】繼共享單車(chē)之后,又一種新型的出行方式------“共享汽車(chē)”也開(kāi)始亮相北上廣深等十余大中城市,一款叫“一度用車(chē)”的共享汽車(chē)在廣州提供的車(chē)型是“奇瑞eQ”,每次租車(chē)收費(fèi)按行駛里程加用車(chē)時(shí)間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里+0.1元/分鐘”,李先生家離上班地點(diǎn)10公里,每天租用共享汽車(chē)上下班,由于堵車(chē)因素,每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下:
時(shí)間(分鐘) | |||||
次數(shù) | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間,范圍為分鐘.
(Ⅰ)若李先生上.下班時(shí)租用一次共享汽車(chē)路上開(kāi)車(chē)不超過(guò)45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車(chē)中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽車(chē)2次,一個(gè)月(以20天計(jì)算)平均用車(chē)費(fèi)用大約是多少(同一時(shí)段,用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 經(jīng)過(guò)點(diǎn),左右焦點(diǎn)分別為、,圓與直線相交所得弦長(zhǎng)為2.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)是橢圓上不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn).
(1)試探究的值是否為一個(gè)常數(shù)?若是,求出這個(gè)常數(shù);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)記的面積為, 的面積為,令,求的最大值.
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