【題目】棋盤上標有第、、、站,棋子開始位于第站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到調(diào)到第站或第站時,游戲結(jié)束.設棋子位于第站的概率為.

1)當游戲開始時,若拋擲均勻硬幣次后,求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望;

2)證明:

3)求、的值.

【答案】1)分布列見解析,隨機變量的數(shù)學期望為;(2)證明見解析;

3,.

【解析】

1)根據(jù)題意得出隨機變量的可能取值有、,利用獨立重復試驗的概率公式計算出隨機變量在相應取值時的概率,可列出隨機變量的分布列,由此計算出隨機變量的數(shù)學期望;

2)根據(jù)題意,棋子要到第站,由兩種情況,由第站跳站得到,也可以由第站跳站得到,由此得出,并在該等式兩邊同時減去,可得出所證等式成立;

3)結(jié)合(1)、(2)可得,利用累加法求出數(shù)列的通項公式,從而可求出的值.

1)由題意可知,隨機變量的可能取值有、、.

,

,.

所以,隨機變量的分布列如下表所示:

所以,隨機變量的數(shù)學期望為;

2)根據(jù)題意,棋子要到第站,由兩種情況,由第站跳站得到,其概率為 ,也可以由第站跳站得到,其概率為,所以,.

等式兩邊同時減去

3)由(2)可得,.

由(2)可知,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,

,

,則,

由于若跳到第站時,自動停止游戲,故有.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,ABBCPAAB,DPB中點,PC3PE.

1)求證:平面ADE⊥平面PBC

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【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣,在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計

南方學生

60

20

80

北方學生

10

10

20

合計

70

30

100

根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”;

已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.

附:

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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且滿足,設,.

(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

(Ⅱ)若,,求實數(shù)的最小值;

(Ⅲ)當時,給出一個新數(shù)列,其中,設這個新數(shù)列的前項和為,若可以寫成,,)的形式,則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請說明理由.

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【題目】我們知道,地球上的水資源有限,愛護地球、節(jié)約用水是我們每個人的義務與責任.某市政府為了對自來水的使用進行科學管理,節(jié)約水資源,計劃確定一個家庭年用水量的標準.為此,對全市家庭日常用水量的情況進行抽樣抽查,獲得了個家庭某年的用水量(單位:立方米),統(tǒng)計結(jié)果如下表及圖所示.

分組

頻數(shù)

頻率

25

0.19

50

0.23

0.18

5

1)分別求出,的值;

2)若以各組區(qū)間中點值代表該組的取值,試估計全市家庭年均用水量;

3)從樣本中年用水量在(單位:立方米)的5個家庭中任選3個,作進一步的跟蹤研究,求年用水量最多的家庭被選中的概率(5個家庭的年用水量都不相等).

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【題目】

如圖所示,在正三棱柱中,底面邊長為,側(cè)棱長為,是棱的中點.

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)求二面角的大小;

)求點到平面的距離.

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1)求曲線和曲線的極坐標方程;

2)射線:依次與曲線和曲線交于兩點,射線:依次與曲線和曲線交于、兩點,求的最大值.

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1)試用空間向量證明直線與平面不平行;

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