Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{2x}-（t-1）}{{a}^{x}}$（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），是否存在正數(shù)m，且m≠1使函數(shù)g（x）=log_m[a^2x+a^-2x-mf（x）]在[1，log₂3]上的最大值為0，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（0）=0，得出t=2；
（2）由f（1）＞0得$a-\frac{1}{a}＞0$又a＞0，求出a＞1，判斷函數(shù)的單調(diào)性f（x）=a^x-a^-x為R上的增函數(shù)，不等式整理為x²-（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，利用判別式法求解即可；
（3）把點(diǎn)代入求出a=2，假設(shè)存在正數(shù)m，構(gòu)造函數(shù)設(shè)t=2^x-2^-x則（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，對底數(shù)m進(jìn)行分類討論，判斷m的值．

解答 （1）f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)
∴f（0）=0，
∴t=2；
（2）由（1）得f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）＞0得$a-\frac{1}{a}＞0$又a＞0
∴a＞1，
由f（kx-x²）+f（x-1）＜0得f（kx-x²）＜-f（x-1），
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（kx-x²）＜f（1-x），
∵a＞1∴f（x）=a^x-a^-x為R上的增函數(shù)，
∴kx-x²＜1-x對一切x∈R恒成立，即x²-（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立
故△=（k+1）²-4＜0解得-3＜k＜1
（3）函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），
∴a=2，假設(shè)存在正數(shù)m，且m≠1符合題意，由a=2得$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$=${log_m}[{2^{2x}}+{2^{-2x}}-m（{2^x}-{2^{-x}}）]$=${log_m}[{（{2^x}-{2^{-x}}）^2}-m（{2^x}-{2^{-x}}）+2]$
設(shè)t=2^x-2^-x則（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，
∵x∈[1，log₂3]，
∴$t∈[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$記h（t）=t²-mt+2，
∵函數(shù)$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值為0，
∴（�。┤�0＜m＜1時，則函數(shù)h（t）=t²-mt+2在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$有最小值為1
由于對稱軸$t=\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}$∴${h_{min}}（t）=h（\frac{3}{2}）=\frac{17}{4}-\frac{3}{2}m=1$$⇒m=\frac{13}{6}$，不合題意
（ⅱ）若m＞1時，則函數(shù)h（t）=t²-mt+2＞0在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$上恒成立，且最大值為1，最小值大于0
①$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}≤\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{8}{3}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1＜m≤\frac{25}{6}\\ m=\frac{73}{24}\end{array}\right.⇒m=\frac{73}{24}$
又此時$\frac{m}{2}=\frac{73}{48}∈[{\frac{3}{2}，\frac{8}{3}}]$，$又h{（t）_{min}}=h（\frac{73}{48}）＜0$
故g（x）在[1，log₂3]無意義
所以$m=\frac{73}{24}應(yīng)舍去$
②$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{2}＞\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{3}{2}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{25}{6}\\ m=\frac{13}{6}\end{array}\right.⇒m$無解，
綜上所述：故不存在正數(shù)m，使函數(shù)$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值為0．

點(diǎn)評 考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)整理不等式，利用構(gòu)造函數(shù)，用分類討論的方法解決實(shí)際問題．