Question

(本小題滿分14分) 已知在單位圓x²+y²=1上任取一點M，作MN⊥x軸，垂足為N， = 2．

(Ⅰ)求動點Q的軌跡的方程；

(Ⅱ)設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；

(Ⅲ)在的條件下，設△的面積為(是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點)，以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) 

(2)時,；

時,；

時，,．所以， 

(3)

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ)設點Q的坐標為（x，y），M（x₀，y₀），則N（x₀，0）

∴

∵=

∴

∵   ∴

∵點M（x₀，y₀）在單位圓x² + y² = 1上

∴

所以動點Q的軌跡C的方程為      .........................4分

(Ⅱ)設，則

，令，，所以，

當，即時在上是減函數(shù)，；

當，即時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；

當，即時，在上是增函數(shù)，．

所以， ．          9分

(Ⅲ)當時，，于是，，

若正數(shù)滿足條件，則，即，

，令，設，則，，于是

，

所以，當，即時，，

即，．所以，存在最小值．          14分

考點：軌跡方程的求解以及點到直線距離

點評：解決的關鍵是利用向量法坐標法得到軌跡方程，同時能利用點到直線的距離得到最值，屬于基礎題。