Question

（2012•肇慶一模）已知四棱錐P-ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．
（1）求此四棱錐的體積；
（2）若E是PD的中點，求證：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的條件下，若F是PC的中點，證明：直線AE和直線BF既不平行也不異面．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知：PA⊥底面ABCD，PA=2，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，據此即可得出四棱錐的體積；
（2）由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質可得：CD⊥PA；利用ABCD是正方形，可得CD⊥AD，利用線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用其性質可得CD⊥AE，利用等腰三角形的性質可得AE⊥PD，再利用線面垂直的判定即可證明；
（3）利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD且EF=

1

2

CD，進而得到EF∥AB且EF=

1

2

AB，據此得到：四邊形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的兩腰，故AE與BF所在的直線必相交．

解答：（1）解：由題意可知，PA⊥底面ABCD，
四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，其面積S_ABCD=2×2=4，高h=2，
所以VP-ABCD=

1

3

SABCD•h=

1

3

×4×2=

8

3

．
（2）證明：由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD，
又△PAD是等腰直角三角形，E為PD的中點，
∴AE⊥PD，
又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD．
（3）證明：∵E，F分別是PD，PC的中點，∴EF∥CD且EF=

1

2

CD
又∵CD∥AB且CD=AB，∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
∴四邊形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的兩腰，故AE與BF所在的直線必相交．
所以，直線AE和直線BF既不平行也不異面．

點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質定理、線面平行的判定與性質定理、三角形的中位線定理、梯形的性質、等腰三角形的性質、四棱錐的體積等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．