Question

函數(shù)y=tan

π

4

-sin

5π

4

sin（

7π

4

+2x），x∈R．
（1）求函數(shù)的最大、最小值；
（2）求函數(shù)的最小正周期；
（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（4）函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=

2

2

cos（2x-

π

2

），x∈R的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換變換成正弦型函數(shù)，然后確定函數(shù)的最值．
（2）利用關(guān)系式進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期．
（3）利用整體思想確定單調(diào)區(qū)間．
（4）首先對關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用平移變換求得結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)y=tan

π

4

-sin

5π

4

sin（

7π

4

+2x）=-

2

2

sin(2x+

3π

4

)+1，
所以函數(shù)的最大值為：ymax=

2

2

+1，
函數(shù)的最小值為：ymin=-

2

2

+1
（2）由于y=-

2

2

sin(2x+

3π

4

)+1
所以函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

2

=π
（3）令：-

π

2

+2kπ≤2x+

3π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

8

+kπ≤x≤-

π

8

+kπ
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

5π

8

+kπ，-

π

8

+kπ]（k∈Z）
令：

π

2

+2kπ≤2x+

3π

4

≤

3π

2

+2kπ
解得：-

π

8

+kπ≤x≤-

3π

8

+kπ
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[-

π

8

+kπ，-

3π

8

+kπ]（k∈Z）
（4）函數(shù)y=

2

2

cos（2x-

π

2

）=

2

2

sin2x向左平移

3π

8

個單位再把函數(shù)的圖象沿x軸旋轉(zhuǎn)180°得到函數(shù)y=-

2

2

sin(2x+

3π

4

)的圖象，再把函數(shù)圖象向上平移1各單位得到結(jié)果．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期，最值，單調(diào)區(qū)間的確定，函數(shù)圖象的變換問題．屬于基礎(chǔ)題型．