Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列
（1）若b=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面積；
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理可得B，再利用余弦定理、三角形面積計(jì)算公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理即可得出a=c，又B=$\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，
∵A，B，C為△ABC的內(nèi)角，∴A+B+C=π．
得B=$\frac{π}{3}$，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴${（2\sqrt{3}）^2}={a^2}+4-4acos\frac{π}{3}$，解得a=4或a=-2（舍去）
∴${s_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×4×2sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$．
（2）由a，b，c成等比數(shù)列，有b²=ac，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0
因此a=c，又B=$\frac{π}{3}$
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．