Question

【題目】已知函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù)， .
（1）求函數(shù) 的單調遞增區(qū)間；
（2）若 為整數(shù)， ，且當 時， 恒成立，其中 為 的導函數(shù)，求 的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

若 ，則 恒成立，所以， 在區(qū)間 上單調遞增

若 ，當 時， ， 在 上單調遞增.

綜上，當 時， 的增區(qū)間為 ；當 時， 的增區(qū)間為

（2）解：由于 ，所以，

當 時， ，故 ————①

令 ，則

函數(shù) 在 上單調遞增，而

所以 在 上存在唯一的零點，

故 在 上存在唯一的零點.

設此零點為 ，則 .

當 時， ；當 時， ；

所以， 在 上的最小值為 .由 可得

所以， 由于①式等價于 .

故整數(shù) 的最大值為2.

【解析】(1)根據(jù)題意求出導函數(shù)討論a的取值范圍即可得出函數(shù)的增區(qū)間。(2)由已知運用參數(shù)分離可得求出導函數(shù)利用導函數(shù)的性質即可得到原函數(shù)的單調區(qū)間，再運用零點存在定理即可求得k的最大值。
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．