Question

7．已知數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n
（2）設(shè)b_n=$\frac{2n（n-1）{a}_{n}}{{3}^{n}}$（n∈N^*），求當(dāng)b_n取得最大值時(shí)正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．可得2（a₃+1）=a₂+a₄，解得a₁，即可得出．
（2）由（1）可得：a_n．b_n=$n（n-1）•（\frac{2}{3}）^{n}$，n≥2時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{3（n-1）}$，對(duì)n分類討論，即可比較出大小關(guān)系．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．
∴2（a₃+1）=a₂+a₄，
∴2（4a₁+1）=2a₁+8a₁，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．
b_n=$\frac{2n（n-1）{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$n（n-1）•（\frac{2}{3}）^{n}$，
n≥2時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{n（n+1）•（\frac{2}{3}）^{n+1}}{n（n-1）•（\frac{2}{3}）^{n}}$=$\frac{2（n+1）}{3（n-1）}$，
b₁=0，b₂=$\frac{8}{9}$，
當(dāng)2≤n≤4時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$＞1；當(dāng)n=5時(shí)，b₆=b₅；
當(dāng)n≥6時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$＜1．
∴當(dāng)n=5時(shí)，b_n取得最大值，b₆=b₅=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．