已知函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.
分析:(Ⅰ)令f′(x)<0,在定義域內(nèi)解出x,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,繼而得到函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.
解答:解:由于函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1),則f′(x)=e-x(-x2+x),
令f′(x)<0,
即-x2+x<0,解得x<0或x>1,
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:(-∞,0),(1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:(-∞,0),(1,+∞),
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:(0,1),
又由f(-1)=e,f(1)=
3
e
,f(0)=1
故函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最小值為1,最大值為e.
點評:熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵.
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