已知函數(shù)f(x)=e-x(cosx+sinx),將滿足f′(x)=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{xn}.求證:數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列.
分析:先求導(dǎo)數(shù),然后解出f′(x)=0的所有正數(shù)根,最后根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可.
解答:證明:f′(x)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)=-2e-xsinx,
由f′(x)=0,即-2e-xsinx=0,
解得x=nπ,n∈Z.從而xn=nπ(n=1,2,3,…),
f(xn)=(-1)ne-πn
所以
f(xn+1)
f(xn)
=-e
所以數(shù)列{f(xn)}是公比q=-e的等比數(shù)列.
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算,三角函數(shù)方程的求解,以及等比數(shù)列的證明,可以利用定義進(jìn)行證明,屬于中檔題.
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