Question

【題目】如圖，已知焦點在x軸上的橢圓有一個內含圓x2＋y2=，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且 (O為原點).

（1）求b的值；

（2）設內含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.求證：，并求|AB|的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）設的坐標，利用，求得，得到點代入橢圓的方程，即可求解；

（2）分類討論，當軸時，由（1）知；當不與軸垂直時，設的方程為，代入橢圓的方程，利用韋達定理證得，再利用弦長公式，結合換元法和二次函數的性質，即可求解.

（1）由圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，，

可得直線的方程為，

設，

由，即，解得，

可得點在橢圓上，代入橢圓方程，

可得.

（2）當軸時，由（1）知，

當不與軸垂直時，設的方程為，即，

則原點到直線的距離，可得，整理得，

把直線代入橢圓的方程，

整理得，

則，

設，則，

所以，即，

即橢圓內含圓的任意切線交橢圓時，總有，

當軸時，可得；

當不與軸垂直時，可得，

設，則，

則，

所以當，即時，的取最大值，

當，即時，的取最小值，

綜上可得，的取值范圍是.