Question

【題目】已知、是橢圓上的兩點，且，其中為橢圓的右焦點.

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）在軸上是否存在一個定點，使得為定值？若存在，求出定值和定點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點，使得為定值

【解析】

（1）討論直線的斜率為0與不為0,斜率為0時，直接得到，斜率不為0時，設直線為，聯(lián)立可得到，.即可得到，又等價于，代入即可解出實數(shù)的取值范圍。

（2）假設存在點，使得為定值，令 由（1）的結果代入計算，得到為定值，即，解出即可得到答案。最后說明直線的斜率為0是也成立即可。

（1）由已知條件知：直線過橢圓右焦點.

當直線與軸重合時，.

當直線不與軸重合時，可設：，代入橢圓方程，并整理得.

設，，由根與系數(shù)的關系得，.

所以.又由得，所以，解之得.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（2）設，則

為定值，所以，解得.

故存在定點，使得為定值.

（經(jīng)檢驗，當與軸重合時也成立）