Question

7．設F₁、F₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P在雙曲線上，若$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，則雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，設|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=n（m＞n），則mn=2ac，結合雙曲線的定義、勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，設|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=n（m＞n），則mn=2ac，
∵m-n=2a，m²+n²=4c²，
∴4c²-4ac=4a²，
∴e-²e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義、勾股定理的運用，屬于中檔題．