Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處切線方程為y=3x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）設g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f'（1）=3，求出a的值，根據(jù)f（1）=2求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為f（x₁）_max＜g（x₂）_max，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=lnx-ax得$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，
f'（1）=3⇒1-a=3⇒a=-2，
則f（x）=lnx+2x，f（1）=2點（1，2）為切點，
則2=3+b
⇒b=-1，
（Ⅱ）由f（x）=lnx-ax$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
①當$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a；
②當$\frac{1}{a}$≥2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a；
③當1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，函數(shù)f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{1}{a}$，2]是減函數(shù)．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當$\frac{1}{2}$＜a＜ln2時，最小值是f（1）=-a，
當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2-2a；
綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當a≥ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a，
（Ⅲ）由條件得f（x₁）_max＜g（x₂）_max，
又∵g（x₂）_max=2，
∴f（x₁）_max＜2．
若a≤0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
x→+∞，f（x）→+∞，不符題意；
∴a＞0由Ⅱ可知$f（x{）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-1-lna＜2$，
得：$a＞\frac{1}{e^3}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道綜合題．