Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，△F₁PF₂的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：在焦點(diǎn)△F₁PF₂中，設(shè)P（x₀，y₀），由三角形重心坐標(biāo)公式，可得重心G的縱坐標(biāo)，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/201178.png' />，故內(nèi)心I的縱坐標(biāo)與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內(nèi)心分割的三個(gè)小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可解得離心率
解答：設(shè)P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為 G（，），
∵，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標(biāo)為，
在焦點(diǎn)△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴=•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I為△F₁PF₂的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)即為內(nèi)切圓半徑，
內(nèi)心I把△F₁PF₂分為三個(gè)底分別為△F₁PF₂的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形
∴=（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）||
∴•|F₁F₂|•|y₀|=（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）||
即×2c•|y₀|=（2a+2c）||，
∴2c=a，
∴橢圓C的離心率e==
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義，重心坐標(biāo)公式，三角形內(nèi)心的意義及其應(yīng)用，橢圓離心率的求法．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的有關(guān)數(shù)值的關(guān)系以及結(jié)合橢圓的形狀和幾何意義兩次表達(dá)三角形的面積．