Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3
（1）當q=1時，求f（x）在[-1，9]上的值域；
（2）問：是否存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）計算f（x）的對稱軸，判斷f（x）的單調性，從而求出f（x）的值域；
（2）對q進行討論判斷f（x）在[q，10]上的單調性，令f_min（x）=-51解出q．

解答 解：（1）q=1時，f（x）=x²-16x+4=（x-8）²-60．
∴f（x）在區(qū)間[-1，8]上遞減，在區(qū)間[8，9]上遞增，
∴f（x）_max=f（-1）=21，f（x）_min=f（8）=-60，
∴f（x）在[-1，9]上的值域為[-60，21]．
（2）假設存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51，
∵f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]
∴當0＜q＜8時，f（x）_min=f（8）=q-61=-51，∴q=10（舍）．
當q≥8時，f（x）在區(qū)間[q，10]上單調遞增，$f{（x）_{min}}={q^2}-15q+3=-51$，
解得q=6（舍）或q=9，
故存在常數(shù)q=9，使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調性，分類討論思想，屬于中檔題．