Question

設(shè)直線x=t與函數(shù)f（x）=x²，g（x）=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)y=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最小值，確定對(duì)應(yīng)的自變量x的值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）=x²-lnx（x＞0），
則y′=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
令y′=0得，x=

2

2

或x=-

2

2

舍去，
所以當(dāng)0＜x＜

2

2

時(shí)，y′＜0，函數(shù)在（0，

2

2

）上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x＞

2

2

時(shí)，y′＞0，函數(shù)在（

2

2

，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)x=

2

2

時(shí)，函數(shù)取得唯一的極小值，即最小值為：

1

2

-ln

2

2

=

1

2

+

1

2

ln2，
則所求t的值為

2

2

，
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，屬中檔題．