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如圖，已知橢圓的離心率為，且經過點平行于的直線在軸上的截距為，與橢圓有A、B兩個

不同的交點

   （Ⅰ） 求橢圓的方程；

    (Ⅱ)  求的取值范圍；                              

   （III）求證:直線、與軸始終圍成一個等腰三角形．

 

【答案】

 

【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,考查轉化與化歸的思想方法,以及學生的運算能力.

解：（Ⅰ）設橢圓方程為………1分

離心率為所以,可得        

由經過點,

解得,…………………………3分

∴橢圓方程為……………………………4分

（Ⅱ）∵直線平行于，且在軸上的截距為

又

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

（III）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可…………9分

設 則

由

……………………………………………………10分

而

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.……………………14分

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

  如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的

  左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢

  圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點

  分別 為和

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； 

   （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

   （Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？

      若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

                                                             

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科目：高中數學 來源：2012屆山西大學附中高三4月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2013屆度黑龍江龍東地區(qū)第一學期高二期末理科數學試卷 題型：解答題

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的焦點分別為A、B和C、D。

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程

（Ⅱ）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2=1

（Ⅲ）是否存在常數，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由。

 

 

 

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