如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線PF1和PF2與橢圓的焦點分別為A、B和C、D。
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準方程
(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1
(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立?若存在,求的值,若不存在,請說明理由。
(Ⅰ)由題意知,橢圓離心率為,得,又,所以可解得,,所以,
所以橢圓的標(biāo)準方程為; ……………1
所以橢圓的焦點坐標(biāo)為(,0),因為雙曲線為等軸雙曲線,且頂點是該橢圓的焦點,所以該雙曲線的標(biāo)準方程為。 ……………4
(Ⅱ)設(shè)點P(,),則=,=,所以=
, ……………6
又點P(,)在雙曲線上,所以有,即,所以
=1。 ……………8
(Ⅲ)假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立,則由(Ⅱ)知,所以設(shè)直線AB的方程為,則直線CD的方程為,
由方程組消y得:,設(shè),,
則由韋達定理得: ……………9
所以|AB|==,同理可得 ……………10
|CD|===, ……………11
又因為,所以有=+
=,所以存在常數(shù),使得恒成立。
【解析】略
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線和與橢圓的交點分別為和.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;
(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分13分)
如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的
左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢
圓的焦點,設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線和與橢圓的交點
分別 為和
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;
(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?
若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆山西大學(xué)附中高三4月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線和與橢圓的交點分別為和.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;
(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省高二下期中文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點平行于的直線在軸上的截距為,與橢圓有A、B兩個
不同的交點
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 求的取值范圍;
(III)求證:直線、與軸始終圍成一個等腰三角形.
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