Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³+（-a）x²+x+1．
（1）若f（x）是（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在x=x₁及x=x₂（x₁，x₂＞0）處有極值，且1＜

x2

x1

≤5，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得不等式組

a＞0 △=4a2-4a＜0

，求出即可；
（2）求出x=x₁及x=x₂（x₁，x₂＞0），得出1＜

a+ a2-a

a+ a2+a

≤5，解不等式求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
∴f′（x）=ax²-2ax+1≥0在（-∞，+∞）恒成立，
∴

a＞0 △=4a2-4a＜0

，解得：0＜a＜1，
∴a的取值范圍是（0，1）；
（2）若f（x）在x=x₁及x=x₂（x₁，x₂＞0）處有極值，
∴x₁，x₂ 是方程ax²-2ax+1=0的2個(gè)根，
∴x₁=a-

a2-a

，x₂=a+

a2-a

，
∴1＜

a+ a2-a

a+ a2+a

≤5，
解得：1＜a≤

9

5

，
∴a的取值范圍是（1，

9

5

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的解法，本題屬于中檔題．