Question

3．已知平行四邊形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，則$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$=3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算，
求出$\overrightarrow{AB}$的模長(zhǎng)，再計(jì)算$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：如圖所示，
平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AE}$，∴E為CD的中點(diǎn)，
又$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，
∴（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=1，
即${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=1；
設(shè)|$\overrightarrow{AB}$|=m，
則2²-$\frac{1}{2}$×2×m×cos60°-$\frac{1}{2}$m²=1，
化簡(jiǎn)得m²+m-6=0，
解得m=2或m=-3（不合題意，舍去）；
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=2²-$\frac{3}{2}$×2×2×cos60°+$\frac{1}{2}$×2²
=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．