Question

2．設(shè)點P、Q分別在直線3x-y+5=0和3x-y-13=0上運動，線段PQ中點為M（x₀，y₀），且x₀+y₀＞4，則$\frac{y_0}{x_0}$的取值范圍為[1，3）．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則3x₁-y₁-5=0，3x₂-y₂-13=0，兩式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，設(shè)M（x₀，y₀），則由中點的坐標(biāo)公式可得3x₀-y₀-4=0，又x₀+y₀＞4即點M在直線x+y=4上或者其右上方區(qū)域，畫圖得到M位于以（2，2）為端點向上的射線上，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：設(shè)P，Q兩點的坐標(biāo)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵點P，Q分別在直線3x-y+5=0和3x-y-13=0上運動，
∴3x₁-y₁-5=0，①
3x₂-y₂-13=0，②
兩式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
設(shè)線段PQ的中點M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0．
即y₀=3x₀-4．
又M點的坐標(biāo)滿足x₀+y₀＞4，即M恒在直線x+y=4上或者其右上方區(qū)域，
∴線段PQ的中點M滿足，如圖．

聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=3x-4}\end{array}\right.$，解得M（2，2），
∴M位于以（2，2）為端點向上的射線上，
當(dāng)M（2，2）時，k_OM=1，
∴直線OM斜率的取值范圍是（1，3）．

點評 本題考查了直線的斜率，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．