Question

9．已知函數$f（x）=lnx-\frac{x+a}{x}$．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）證明：x＞0時，$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}＜1$；
（Ⅲ）比較三個數：${（\frac{100}{99}）^{100}}$，${（\frac{101}{100}）^{100}}$，e的大�。╡為自然對數的底數），請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）不等式$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}$等價于$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$，令t=x+1，則x=t-1，由x＞0得t＞1，問題等價于：$lnt＞\frac{t-1}{t}$，根據函數的單調性證明即可；
（Ⅲ）根據$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$，令$x=\frac{1}{100}$，得到${（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜{e}$；再根據$\frac{ln（x+1）}{x}＞\frac{1}{x+1}$（x＞0），得到$（1+\frac{1}{x}）ln（x+1）＞1$，判斷大小即可．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），因為$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{x-（x+a）}{x^2}=\frac{x+a}{x^2}$，
當a≥0時，f'（x）＞0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，由f'（x）＜0得0＜x＜-a，由f'（x）＞0得x＞-a，
所以函數f（x）在（0，-a）上單調遞減，在（-a，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）證明：①因為x＞0，不等式$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}$等價于$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$，
令t=x+1，則x=t-1，由x＞0得t＞1，
所以不等式$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$（x＞0）等價于：$lnt＞\frac{t-1}{t}$，即：$lnt-\frac{t-1}{t}＞0$（t＞1），
由（Ⅰ）得：函數$g（t）=lnt-\frac{t-1}{t}$在（1，+∞）上單調遞增，
所以g（t）＞g（1）=0，即：$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$．
②因為x＞0，不等式$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$等價于ln（x+1）＜x，
令h（x）=ln（x+1）-x，則$h'（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，所以h'（x）＜0，
所以函數h（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上為減函數，
所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．
由①②得：x＞0時，$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}＜1$
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0時，$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$，
所以令$x=\frac{1}{100}$，得$100×ln（\frac{1}{100}+1）＜1$，即$ln{（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜1$，所以${（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜{e}$；
又因為$\frac{ln（x+1）}{x}＞\frac{1}{x+1}$（x＞0），所以$（1+\frac{1}{x}）ln（x+1）＞1$，
令$x=\frac{1}{99}$得：$100×ln\frac{100}{99}＞1$，所以$ln{（{\frac{100}{99}}）^{100}}＞1$，從而得${（{\frac{100}{99}}）^{100}}＞{e}$．
所以，${（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜{e}＜{（{\frac{100}{99}}）^{100}}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．