Question

6．已知函數(shù) f（x）=x-ln x-2．
（Ⅰ）求函數(shù) f （ x） 的最小值；
（Ⅱ）如果不等式 x ln x+（1-k）x+k＞0（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （I）x∈（0，+∞），f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值．．
（II）不等式 x ln x+（1-k）x+k＞0（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立?k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1）．令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：（I）x∈（0，+∞），f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（1）=1-0-2=-1．
（II）不等式 x ln x+（1-k）x+k＞0（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立?k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1）．
令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1）．g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，由于x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∵f（1）=-1＜0，∴函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，x₀-lnx₀-2=0．
又f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4＞0，∴x₀∈（3，4）．
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，f（x₀）＜0，∴g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，f（x₀）＞0，∴g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（ln{x}_{0}+1）}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4），
∴k_max=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值、函數(shù)零點(diǎn)、分類(lèi)討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．