Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^2x+1-2mx-$\frac{3}{2}$m，其中m∈R，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式f（x）≥n對(duì)任意x∈R都成立，求m•n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$n≤\frac{1}{2}m-mlnm$，其中m＞0，得到$m•n≤\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}lnm$，m＞0，令$φ（m）=\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}lnm$，m＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出mn的最大值即可．

解答 解：（1）$f（x）={e^{2x+1}}-2mx-\frac{3}{2}m$，x∈R，f'（x）=2e^2x+1-2m，
①當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)m＞0時(shí)，令f'（x）=0，得$x=\frac{lnm-1}{2}$，

x	$（{-∞\;，\;\frac{lnm-1}{2}}）$	$\frac{lnm-1}{2}$	$（{\frac{lnm-1}{2}\;，\;+∞}）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）在$（{-∞\;，\;\frac{lnm-1}{2}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{lnm-1}{2}\;，\;+∞}）$上單調(diào)遞增．                                 
（2）由（1）可知，若m≤0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
f（x）在R上無(wú)最小值，與題意矛盾，舍去；
所以m＞0，f（x）在$（{-∞\;，\;\frac{lnm-1}{2}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{lnm-1}{2}\;，\;+∞}）$上單調(diào)遞增，
f（x）在R上的最小值為$f（{\frac{lnm-1}{2}}）=m-2m•\frac{lnm-1}{2}-\frac{3}{2}m=\frac{1}{2}m-mlnm$．
因?yàn)椴坏仁絝（x）≥n對(duì)任意x∈R都成立，
所以$n≤\frac{1}{2}m-mlnm$，其中m＞0，
故$m•n≤\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}lnm$，m＞0，
令$φ（m）=\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}lnm$，m＞0，$φ'（m）=m-2mlnm-{m^2}•\frac{1}{m}=-2mlnm$，
令φ'（m）=0，解得m=1，

m	（0，1）	1	（1，+∞）
φ'（m）	+	0	-
φ（m）	↗	極大值	↘

所以$φ（m）≤φ（1）=\frac{1}{2}$，故$m•n≤φ（m）≤\frac{1}{2}$，
即m•n的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．