Question

14．一個正四棱錐的內(nèi)切球半徑為1，則此正四棱錐體積的最小值為$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 先求出正四棱錐體積，再利用導數(shù)知識求解即可．

解答 解：設正四棱錐的高為h，底邊長為2a，則斜高為$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$，
∵正四棱錐的內(nèi)切球半徑為1，
∴由△POG∽△PFE可得$\frac{1}{h-1}=\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}}$，
∴a²=$\frac{{h}^{2}}{{h}^{2}-2h}$
∴正四棱錐體積V=$\frac{1}{3}×4{a}^{2}h$=$\frac{4}{3}$×$\frac{{h}^{3}}{{h}^{2}-2h}$，
V′=$\frac{{h}^{3}（h-4）}{（{h}^{2}-2h）^{2}}$，
∴0＜h＜4時，V′＜0；h＞4時，V′＞0，
∴h=4時，正四棱錐體積取得最小值，最小值為$\frac{32}{3}$．
故答案為：$\frac{32}{3}$．

點評 本題主要考查球與正四棱錐的關系，考查導數(shù)知識的運用，正確求出正四棱錐體積是關鍵．