Question

4．若函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2}{x}$-alnx（a＞0）有唯一的零點(diǎn)x₀，且m＜x₀＜n（m，n為相鄰整數(shù)），則m+n的值為5．

Answer 1

分析 由題，可將函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x²+$\frac{2}{x}$=alnx有一個(gè)根，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為g（x）=x²+$\frac{2}{x}$與r（x）=alnx有一個(gè)公共點(diǎn)，然后研究?jī)蓚�(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合代入整數(shù)值比較函數(shù)值的大小，確定出兩函數(shù)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，從而得出m，n的值，問(wèn)題得解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2}{x}$-alnx（a＞0）有唯一的零點(diǎn)x₀，
∴x²+$\frac{2}{x}$=alnx有一個(gè)根，即g（x）=x²+$\frac{2}{x}$與h（x）=alnx有一個(gè)公共點(diǎn)，
又g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2（x^3-1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）=x²+$\frac{2}{x}$在（0，1）減，在（1，+∞）上增，而由題意知，h（x）=alnx是一個(gè)增函數(shù)，
故兩函數(shù)在（1，+∞）上有一個(gè)公共點(diǎn)，且過(guò)該點(diǎn)存在一條為兩函數(shù)的公共切線，不妨令該點(diǎn)坐標(biāo)（s，t），
則必有$\left\{\begin{array}{l}{2s-\frac{2}{{s}^{2}}=\frac{a}{s}}\\{{s}^{2}+\frac{2}{s}=alns}\end{array}\right.$，兩式聯(lián)立，消去a可得${s}^{2}+\frac{2}{s}=（2{s}^{2}-\frac{2}{s}）lns$，
令s=1可得等號(hào)左式的值為3，右側(cè)為0；
令s=2可得等號(hào)左式的值為5，右側(cè)為7ln2≈4.85＜5；
令s=3可得等號(hào)左式的值為9+$\frac{2}{3}$，右側(cè)為（18-$\frac{2}{3}$）ln3＞10．
綜上得s∈（2，3），即2＜x₀＜3，所以m=2，n=3．
∴m+n的值為5．
故答案為5．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合題，難度較大，考查了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化意識(shí)，轉(zhuǎn)化的思想，綜合性較強(qiáng)，且解答的最后，要根據(jù)求的是整數(shù)的問(wèn)題，用試驗(yàn)性代入整數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證，以確定函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，這是高中生解答問(wèn)題中的易忽略點(diǎn)，由于高中數(shù)學(xué)以培養(yǎng)邏輯推理能力為主，試驗(yàn)的意識(shí)較差，導(dǎo)致問(wèn)題難于最終得解．