Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與y軸交于B₁，B₂兩點(diǎn)，F(xiàn)₁為橢圓C的左焦點(diǎn)，且△F₁B₁B₂是邊長為2的等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P₁（P₁與Q不重合），則直線P₁Q與x軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|F₁B₁|=$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$=a，由△F₁B₁B₂是邊長為2的等邊三角形，可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，則P₁的坐標(biāo)可推斷出，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而可表示出P1Q的直線方程，把y=0代入求得x的表達(dá)式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進(jìn)而可推斷出直線P₁Q與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．

解答 解：（1）由題意可得B₁（0，b），B₂（0，-b），F(xiàn)₁（-c，0），
|F₁B₁|=$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$=a，
由△F₁B₁B₂是邊長為2的等邊三角形，可得a=2，
2b=2，即b=1，
則有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，m≠0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則P₁（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
經(jīng)過點(diǎn)P₁（x₁，-y₁），Q（x₂，y₂）的直線方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0，則x=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$•y₁+x₁=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{（m{y}_{1}+1）{y}_{2}+（m{y}_{2}+1）{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1
=$\frac{-\frac{6m}{4+{m}^{2}}}{\frac{-2m}{4+{m}^{2}}}$+1=3+1=4．
這說明，直線P₁Q與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用方程的思想，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線恒過定點(diǎn)，考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．