已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a3是a1和a9的等比中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，f(n)=
Sn(n+18)Sn+1
，試問當n為何值時，f（n）最大？并求出f（n）的最大值．
分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由（1）利用等差數(shù)列的前n項和公式可得Sn，再利用基本不等式即可得出f（n）．
解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，∵a1=1，且a3是a1和a9的等比中項，∴
a
2
3
=a1a9．
化為（1+2d）2=1×（1+8d），化為d2-d=0，∵d≠0，∴d=1．
∴an=1+（n-1）×1=n．
（2）由（1）可得：數(shù)列{an}的前n項和為Sn=
n(n+1)
2
．
∴f(n)=
Sn
(n+18)Sn+1

=
n(n+1)
2
(n+18)×
(n+1)(n+2)
2

=
n
(n+18)(n+2)
=
1
n+
36
n
+20
≤
1
2
36
+20
=
1
32
，當且僅當n=6時取等號．
因此當n=6時，f（n）取得最大值
1
32
．
點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前n項和公式、基本不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，則這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按照等差數(shù)列的定義我們可以定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a8的值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=3，公積為27，則a1+a2+a3+…+a18=
78
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．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個數(shù)列，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么這個數(shù)列的前21項和S21的值為
52
52
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列的定義為：在一個數(shù)列中，從第二項起，如果每一項與它的前一項的差都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．
（1）類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，求 a18的值，并猜出這個數(shù)列的通項公式（不要求證明）．

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