19．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（I）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（II）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明．

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）證明：設x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{{x}_{1}}$+x1-（$\frac{1}{{x}_{2}}$+x2）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$+（x1-x2）=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
則函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)遞減．
（2）函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
則f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關鍵．

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