Question

1．下列命題中：
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n-1，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
③銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，7，a，則a的取值范圍是2$\sqrt{10}$$＜a＜\sqrt{58}$．
④若S_n=2-a_n，則{a_n}是等比數(shù)列
真命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 逐項(xiàng)判斷各個(gè)命題的真假即可得解．①由三角形中的邊角關(guān)系和正弦定理易得；②④由數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系可判斷命題真假；③由余弦定理列出不等式組，可得結(jié)果．

解答 解：①∵A＞B，∴a＞b，∴由正弦定理有sinA＞sinB，故①為真；
②當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，不能表示首項(xiàng)，故{a_n}不是等差數(shù)列，即②為假；
③∵三角形是銳角三角形，∴由余弦定理有$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}{+a}^{2}{-7}^{2}＞0}\\{{3}^{2}{+7}^{2}{-a}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得$2\sqrt{10}＜a＜\sqrt{58}$，即③為真；
④當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n=2-a_n得：S_n-1=2-a_n-1，兩式相減得${a}_{n}=\frac{1}{2}{•a}_{n-1}$，故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，故④為真．
綜上知，
答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查內(nèi)容較多，但難度不大．正確掌握各個(gè)命題中涉及到的知識(shí)點(diǎn)以及掌握其相關(guān)的解決方法是解題關(guān)鍵．